統計メモ - なーらんだ―寺院

標準得点(Zscore)とは、ある確率分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ に含まれる要素 $x_i$ を $X \sim N(0, 1)$ の場合について調整したとき得られる点数のこと。

前提知識

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ について $aX + b$ を行う(一次変換)と、

$E[aX + b] = aE[X] + b = a\mu + b, V[aX + b] = a^2V[X] = a^2\sigma^2$ となる。

つまり、 $aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$ となる。

今、一般に考えて、 $N(\mu, \sigma^2)$ に近似する確率分布 $X$ があり、その要素 $x_i$ の標準得点を求めたい。まずXを標準正規分布に置き換える。この時に、一次変換を行う。

$aX + b \sim N(0, 1)$ となればよい。

$V[aX + b] = a^2V[X] = a^2\sigma^2 = 1$ より、 $a = \frac{1}{\sigma} (\sigmaは標準偏差 )$ 。

また、期待値についても $E[aX + b] = 0$ と先の結果 $a = \frac{1}{\sigma}$ を用いて、

$E[aX + b] = a\mu + b = \frac{1}{\sigma} \mu + b = 0$ より $b = \frac{-\mu}{\sigma}$ 。

よって $\frac{1}{\sigma} X - \frac{\mu}{\sigma}$ の一次変換を行うことによってX が標準正規分布に従うことが分かった。

これを各 $x_i$ について行い、

$a x_i + b = \frac{1}{\sigma} x_i - \frac{\mu}{\sigma}= \frac{(x_i - \mu)}{\sigma}$ で標準得点が得られる。

偏差値得点(Tscore)は $N(50, 10^2)$ での $x_i$ の得点である。

標準得点がN(0,1)での話であるから、標準得点をa = 10, b = 50として再び一次変換すると偏差値得点が得られる